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Scritto di Matematica, Ambito Disciplinare 8: criticata la definizione algebrica di divisione euclidea

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Interessanti alcune considerazioni riguardanti un ipotetico parallelismo con il concorso bandito nel 1999. Le tracce del concorso svolto nel 2000 secondo il parere di molti matematici erano più difficili, però bisogna considerare che in quelle prove furono concesse 8 ore di tempo per lo svolgimento dei quesiti proposti. Nell’attuale concorso la prova scritta doveva essere svolta in sole 2 ore e mezzo, pertanto è difficile fare raffronti con concorsi precedenti. Molto discusso è il quesito n.3 dove l’algoritmo di Euclide non è stato considerato di facile impatto nella trattazione. Di seguito i 4 quesiti proposti:
Quesito 1) Dato un polinomio P(x) di grado dispari dimostrare che esiste almeno un valore di x per cui P(x) = k. Disegnare qualitativamente il grafico di f(x) = 4x^5-5x. Descrivere al variare di k il numero di soluzioni dell’equazione f(x)=k.
Quesito 2): dato il sistema di equazioni (1) x+y+z=3 e (2) 2x-y=2 descrivere il significato algebrico e l’interpretazione geometrica delle due equazioni e del sistema. Indicare una ulteriore equazione che non modifichi l’insieme delle soluzioni e un’altra che lo renda impossibile indicando il significato geometrico delle due equazioni.
Quesito 3) Dare la definizione algebrica di divisione euclidea con resto tra interi e di divisione con resto tra polinomi evidenziandone le similitudini. Enunciare il metodo dei resti per la determinazione del MCD e dimostrare che il risultato è effettivamente il MCD. Indicare, anche dal punto di vista storico, alcuni utilizzi di questo metodo
Quesito 4): data la distribuzione gaussiana g(x) disegnarne qualitativamente il grafico, disegnare il grafico di f(x) = int(-oo, x, g(t)dt). Mostrare come l’integrale di xg(x) sia 0 e come l’integrale di x^2g(x) sia = sigma^2. Infine indicare il significato di tutto questo dal punto di vista della Probabilità.